التفكير على الرياضيات والميكانيكا

غربا هو! التفكير على الرياضيات والميكانيكا

---

12 أبريل 2017، 

نشرت من قبل يوجين كيدويل

في أول سمة عادية من بريستول والبلد الغرب، ترى ألان تشامبنيس والغريب تقليد جلوسيسترشاير عطلة البنوك وعلاقته (فضفاضة) لبول باينليف، الخطوط المتقطعة على السبورات، السلاحف، الممثل الكوميدي ديف ألين والفرقة موتورهيد.

الجبن المتداول

كوبر هيل بالقرب شهود غلوستر الحدث الغريب كل ربيع عطلة البنوك. رولينج الجبن السنوي وويك [1]. A عريف الحفل، الذي ينطوي أيضا الحلويات نضحي في أعلى التل الدور، يترأس مهرجان الأسرة حيث يتم إرجاع الجبن أسفل تلة شديدة الانحدار مقعرة، مطاردا من قبل أصغر وأقوى في المنطقة المجاورة. وهو السباق. لا توجد قواعد حقيقية ولا أي أسلوب مقبول. تلك جنون بما يكفي لاتخاذ جزء يمكن أن ينظر إلى تشغيل مختلفة، ترتد، بوم خلط ورق اللعب أو تعثر، في كثير من الأحيان عن الأربعة، في كثير من الأحيان عن غير قصد. هناك أجناس متعددة، والرجال منفصلة والأحداث السيدات.المنحدر المعشوشب غير متكافئ للغاية وكل عام يصبح الموحلة بالتأكيد بعد السباق الأول، وخاصة في السنوات الرطبة. في أسفل مجموعة من الزملاء الضخمة بمثابة الصيادين، وموظفي الإسعاف سانت جون على إستعداد لعلاج المصابين. والجائزة للفائزين؟ لماذا، ويحصلون على الجبن، بطبيعة الحال.

وغارقة أصول حالة الغموض. ويقول البعض أنها كانت الوسيلة التي القرويين المحليين من Brockworth أن تؤكد سنويا حقوق الرعي على التل. ويدعي آخرون أنه من طقوس وثنية، وسوف الجبن كانت في الأصل حزمة حرق أجمة، وتستخدم لدرء الارواح فصل الشتاء. وبعد ذلك، كما هو الحال مع العديد من مثل هذه المهرجانات غرب البلاد، والبعض الآخر يدعي أنه من طقوس الخصوبة. أنا لا أعرف عن هذا، ولكن الكثير من المؤكد عصير التفاح هو في حالة سكر قبل وبعد في العديد من الخانات المحلية، وهناك حالة معنوية عالية بين الحشود أكبر من أي وقت مضى أن جمع لمشاهدة كل عام.

يأخذ كل الجبن على شكل اسطوانة القرفصاء (الازدواج غلوستر، وبطبيعة الحال)، بدعم من الجانبين خشبية ملفوفة بإحكام، وتعادل مع الشريط مشرق. في نظرية تحاول المتسابقين للقبض على الجبن، ولكن في الممارسة العملية يتم إعطاء الجبن الثاني السبق واحدة وتصل إلى أسفل لفترة طويلة قبل أي مشارك البشري. وحقيقة الأمر هي أن الجبن هو أكثر كفاءة بهلوان من شخص. هذا وقد حصل لي التفكير لماذا هذا هو. وجاءت ثلاثة أسئلة معينة في الميكانيكا إلى الذهن.

أولا، هناك نظرية أويلر الهيئات الهبوط، والتي الكثير منا يعلم أن الطلاب الجامعيين. اقتراح من هيئة جامدة العام حول مركز كتلته، في إطار التناوب، ويمكن وصف المعادلات ناقلات ، حيث هي السرعة الزاوية، هو عزم الدوران التطبيقية و هو مصفوفة الجمود. في حالة وجود اسطوانة صلبة موحدة، فإنه ليس من الصعب أن تظهر أن لحظة الرئيسية من الجمود حول محور الاسطوانة أصغر، وهو ما يعني أن المتداول الحركة حول هذا المحور سوف تكون مستقرة، في حين الغزل الحركة حول محور شعاعي سيكون غير مستقر . وهكذا، شريطة أن يتم إرجاع الجبن تستقيم أسفل التل، كما أنه يكسب الزخم الخطي أسفل المنحدر، وسوف قبضة سطح معشوشب التل، وهكذا يكتسب الزخم الزاوي حول محور أسطواني لها. وهذا التسارع الزاوي قزم أي اضطرابات وسيستمر الجبن للفة أسرع وأسرع أسفل التل. في الممارسة العملية، ومستبعد الجبن، نظرا لعدم تماثله من المنحدر، ولكن كل ترتد منفصلة يؤدي إلى حقن مزيد من عزم الدوران حول محور أسطواني، ونفس 
ينطبق حجة.

للإنسان من ناحية أخرى، في وضع تشغيل تستقيم ما يقرب من أننا يمكن تقريب بصورة فجة شكل الجسم كما في متوازي المستطيلات، الذي يضم ثلاثة لحظات الرئيسية المستقلة من الجمود. أسفل المنحدر، فإن أي رئيس هبط على عقب تتوافق مع تناوب حول المحور مع لحظة وسيطة من الجمود.

ولكن كما جميع الطلاب الذين درسوا معادلات أويلر سوف نعرف، والحركة فقط عن مدير محاور مع أصغر وأكبر لحظات من الجمود مستقرة. الحركة حول محور وسيط غير مستقر وسوف تؤدي بسرعة إلى تراجع فوضوي. إذا كان عن طريق الصدفة كنت لم أر هذا من قبل، حاول مع علبة الثقاب (يفضل أن يكون فارغا) من خلال الدوران في الهواء ثلاث طرق مختلفة، والسماح لها لتدوير حول محور من خلال مركز الكتلة التي تمر عبر وسط كل من الثلاثة وجوه عمودي. الجزء العلوي، الجانب والنهاية.

في الواقع، ومختلف الرياضيين والفنانين يعرفون غريزيا كيفية تدور ثابت. البهلوانات تجد أنه من الأسهل بكثير لعجلة العربة من تعثر نهاية على نهاية. المتزلجين على الجليد يتسارع خلال يدور بالوقوف في وضع مستقيم وسحب أذرعهم وأرجلهم في، وبالتالي خفض حظة من الجمود.

المنافسين الأكثر نجاحا في سباق الجبن المتداول محاولة البقاء على أقدامهم. إذا كنت قد حاولت من أي وقت مضى يهرول تلة شديدة الانحدار، كنت قد لاحظت مدى صعوبة لها ساقيك للعمل على توفير قوة موازية لوقف نفسك إما السقوط إلى الأمام أو الانزلاق إلى الوراء. وإذا لم يمكن الحفاظ على التوازن، ويبدو أن معظم المنافسين لصالح الانزلاق إلى الوراء كما أسفل أقرب إلى أرض الواقع، ويميل إلى أن يكون أفضل من توسيد الرأس.

وحتى هذا حصل بعد ذلك لي التفكير في اليات عصا، والانزلاق وترتد. وأذكر العديد من الأسئلة على هذه الأنواع من المشاكل في الميكانيكا والمستوى - أسئلة حول كرات مرنة تماما السنوكر، سلالم جامدة، والجدران الملساء والأرضيات لزجة. قد يتصور المرء أن استخدام مزيج من آليات جامدة الجسم، قانون نيوتن للتعويض وقانون كولوم من الاحتكاك، وسيكون من اليسير نسبيا كتابة رمز محاكاة لحركة الجبن الجامد مهما كان شكل المتداول أسفل المنحدر جامدة مهما كان الارتفاع، في بعدين على الأقل. في الواقع، هناك العديد من المتاحة تجاريا جامدة هيئة الميكانيكا الحزم التي يمكن محاكاة حركة العديد من هذه الهيئات، والتفاعل مع المنحدر وبعضها البعض، في ثلاثة أبعاد، وحتى مع الأخذ في الاعتبار آثار متعددة الفيزياء مثل درجة الحرارة وميكانيكا السوائل.

الشكل 1: ثلاثة آثار التي خلفتها الطباشير انتقل باليد عبر السبورة جامدة (مستنسخة من [2]).

لكن انتظر. من جهة نظر رياضية، فمن المعروف أن أي نظرية ميكانيكا جامدة الجسم مع القانون الاحتكاك غير سلس كولوم مثل والنظرية النيوتونية الرد تطرح سوء. نعم، طرح سوء. وهذا هو، وهناك مجموعات مفتوحة من الشروط الأولية التي عندما الأمام محاكاة في الوقت تصل إلى التفرد الذي لا يوجد استمرار الأمام فريدة من نوعها. في الميكانيكا جامدة للجسم مستو، وتعرف هذه الظاهرة باسم مفارقة Painlevé ، بعد عالم الرياضيات الفرنسي، مهندس الطيران وسياسي بول باينليف (1863-1933)، الذي كان أول من شرح بإيجاز ظاهرة [3].

أنا لم يكن لديك مساحة للذهاب بعيدا في هذه النظرية، ولا آثار، من المفارقة Painlevé هنا. أود أن أشير القارئ المهتم إلى الاستعراض الأخير في طبعة الذكرى ال50 ل IMA مجلة الرياضيات التطبيقية [2]. أزعم على الرغم من أنه في غضون الرياضيات Painlevé يستحق أكثر بكثير تقديرا لهذا العمل من التسلسل الهرمي مقصور على فئة معينة بدلا من المعادلات التفاضلية والثوابت الخاصة التي تحمل أيضا اسم له. المفارقة نفسها، ويعتقد مرة واحدة ليكون مجرد فضول الرياضي، في بلدي وجهات نظر لعدم الاستقرار الأساسي الذي نعيشه في حياتنا اليومية.

عدم الاستقرار هذا يكمن في صميم السبب الطباشير من السهل سحب عبر السبورة ولكن من الصعب أن يدفع. وبالفعل تم توثيقه جيدا أن عدم الاستقرار مثل نقار الخشب واجهتها على دفع الطباشير يمكن الكمال كأسلوب لرسم خط متقطع منتظم، بسرعة وبشكل موثوق (انظر الشكل 1). ما هو غير عادي حول هذه الحركة؟ حسنا، وعادة المعلم يدفع الطباشير موحد تجاه المجلس. كما ينزلق الطباشير تصل إلى نقطة التي تعرف أحيانا باسم المربى ديناميكية، حيث تأتي حركة عرضية من طرف إلى توقف مفاجئ والطباشير يرفع قبالة مع سرعة طبيعية محدودة. ومن المعروف مثل هذا الحدث بشكل فوري تقريبا أيضا بمثابة صدمة عرضية، أو أكثر بشكل مناسب على الأثر دون تصادم ، لأن الطرف الطباشير يترك على الفور على متن الطائرة مع السرعة العادية محدودة من دولة ذات سرعة الصفر العادية. ويبدو أن هذا تحدي السببية. والحقيقة هي أنه خلال تأثير الطاقة يتم نقلها على الفور، من خلال درجة دوران حرية الطباشير، من عرضية إلى الزخم العادي.

لشرح أصول المفارقة Painlevé في وباختصار يمكن القول، أنه يمكن أن يحدث في حالة وجود اقتران كبير بين درجة عرضية وطبيعية للحرية في نقطة اتصال لهيئة جامدة أثناء الانزلاق الحركة. دعونا و على التوالي تمثل السرعات عرضية وطبيعية مثل نقطة اتصال، و و تكون معاملات المقابلة من قوات عرضية وطبيعية على التوالي. ثم واحدة يمكن أن يكتب

(1) 

(2) 

هنا، سكالارس و تمثل تعميم تسارع الحرة التي يمكن أن تأخذ أي توقيع وعادة ما تكون مهام جميع الإحداثيات المعممة أو العزم، في حين أن سكالارس ، و تمثل تأثيرات القوى عرضية وطبيعية على التسارع من نقطة الاتصال المقابلة؛ إذا لم يكن هناك اقتران بين درجة عرضية وطبيعية الحرية ثم . الآن، دعونا نفترض كولوم الاحتكاك مع معامل ، وافترض أنه في المثال وقت معين يكون الجسم في الاتصال ( ) وفي زلة بحيث . دون فقدان عمومية، دعونا نفترض . ثم، والاستعاضة إلى (2) يعطي

  

والتي تمكننا من حل للقوة طبيعية غير معروفة كما مضاعف لاغرانج للمشكلة. نحصل

  

الآن، افترض أنه في حالة عدم وجود اتصال يجبر يتم الضغط على الجسم نحو الاتصال، وهذا هو . وهكذا، شريطة نجد قوة طبيعية إيجابية فريدة من نوعها. ولكن أشياء غريبة تحدث إذا كان هناك اقتران كافية بين درجة طبيعية وعرضية من الحرية، أو معامل الاحتكاك عالية بما فيه الكفاية بحيث . هذا من شأنه أن تتوافق مع سطح جامدة قاسية سلبا - على أكثر يتم الضغط على الجسم نحو سطح تقييدا، وكلما امتص في هذا هو ما يمكن أن يتسبب في التأثير دون الاصطدام. وتتطلب هذه شخصياته مزيد من الفيزياء إلى أن تحل تماما، وهو موضوع البحوث الجارية. في جوهرها، والمفارقة Painlevé هي مجرد واحدة من العديد من السخافات المادية التي هي متأصلة كلما نجعل افتراض جامدة الجسم. ومن الأمثلة الأخرى العمل على مسافة وبسرعة موجة لانهائية. ولكن مثل معظم النظريات الرياضية، ميكانيكا نيوتن هو مجرد نموذج من الواقع وليس الواقع نفسه.

وأخيرا، وأنا أتساءل ما جهد ستكون هناك حاجة للحصول على المتداول الجبن لو كانت متوازنة مجرد في أعلى التل بدلا من دفع بنشاط. أنا الانتباه إلى مسألة استقرار هيئة جامدة يستريح على واحد أو أكثر من نقطة. ماذا لو كان الجبن بعض شكل غير منتظم، وكأنه واحد من القطع على شكل وتد المألوفة التي تباع في عدادات البقالة. كيف حاد يحتاج المنحدر أن يكون لذلك إلى سقوط أكثر - للفة، زلة أو تعثر؟ تنظر أولا جسم صلب من الراحة كثافة ثابتة على سطح مستو. كم عدد الطرق التي يمكن أن تكون متوازنة جدا؟ يمكن أن تكون متوازنة معظم الكائنات في تكوينات متعددة.

ولكن في عام 2006 أظهرت بيتر فاركونيي وغابور دوموكوس من جامعة بودابست للتكنولوجيا والاقتصاد أنه من الممكن لبناء الجسم متجانس التي يمكن أن ترتكز على نقطة واحدة فقط [4]. فمن تماما-المقوم الذاتي. قد لا يبدو هذا الانجاز الرائع، ولكن معظم هيئات المقوم الذاتي، مثل لعبة أتذكر عندما كنت طفلا ( 'Weebles تمايل كنها لا تسقط " )، هي غير متجانسة، ثقيلة القاع بلا ريب. شكل جاء فاركونيي ودوموكوس مع ديه كثافة موحدة. هو مثل كرة المنقوش ومسحوق قليلا، وأنها معمد Gömböc، وهو تصغير لكلمة المجرية لالمجال، الذي يشير أيضا إلى نوع من الخبز تشبه هاجيس الذي anthropomorphised في الحكاية الشعبية المجرية الشهيرة. ومنذ ذلك الحين لوحظ أن أنواع معينة من السلحفاة، righters الذاتي تلقاء الطبيعة، وحوالي Gömböc الشكل.

الشكل 2: محاكاة من رد هيئة جامدة مستو الثقيلة إلى اضطراب صغير من تكوين توازنه على منحدر غير مرن تماما. © 2017 IEEE. أعيد طبعها بإذن من [5].

معظم الهيئات ونقاط يستريح متعددة وبالفعل الأشياء التي تم تصميمها للفة، مثل كرات السنوكر أو الجبن هيل كوبر، ولها الاستمراريه من النقاط الراحة. ولكن السؤال الذي تريد حقا لمعالجة ما يحدث إذا نضع بعض هيئة جامدة شكل تعسفي على منحدر الاحتكاك. يمكن أن نقرر بشكل فريد ما إذا كان سيبقى أو ستبدأ بالدوران حول واحدة من نقاط الاتصال، وإذا كان أي نقطة اتصال سوف يقلع، زلة أو أخذ الأثر؟ وقد وجهت مؤخرا عن هذا السؤال فاركونيي ومتعاون يزهار أو من التخنيون في إسرائيل (انظر [2]). هناك مبدأ ثابت المستخدمة في الميكانيكا الاتصال (انظر على سبيل المثال [6]) المعروفة باسم مبدأ Kilmister في: