مثال تطبيقي للمصفوفات

الروبوتات: استخدام مصفوفات التحول إلى تغيير من واحد نظام الإحداثيات لآخر في الروبوتات

خلفية

في العديد من المشاكل الروبوتات فمن المفيد أن تحدد أكثر من نظام الإحداثيات. على سبيل المثال في الصورة الى اليمين حددنا ثلاثة أنظمة تنسيق. لقد علقنا نظام تنسيق يسمى B إلى قاعدة الروبوت، ونظام آخر يسمى تنسيق H إلى يدها وآخر يدعى P إلى قطعة أن الروبوت يجب فهم. (بواسطة المرفقة نعني أننا إذا نقل القاعدة، اليد أو قطعة ثم ينتقل النظام المقابلة تنسيق معها.) تنسيق  نظام P مفيدة لتحديد مواقع النقاط على الاسطوانة. نظام الإحداثيات B مفيد لوصف الموقع اليد. وتنسيق نظام H مفيد لقياس المسافات من ناحية.
في كثير من الأحيان ونحن نعرف الموقف والتوجه للقطعة P بالنسبة للالروبوت قاعدة B ولكن علينا أن نعرف أنه نسبة إلى ناحية H بحيث يمكن نقل اليد بشكل صحيح لالتقاط قطعة. يمكن حساب هذا إذا علمنا الموقف والتوجه من ناحية نسبة إلى القاعدة. لاحظ أن التوجه وكذلك موقف مهم إذا أردنا اليد لتكون موجهة بشكل صحيح لفهم قطعة.
في القسم خلفية هذا سوف نشرح كيف مصفوفة التحول يمكن استخدامها لوصف موقع واتجاه نظام إحداثيات الثاني فيما يتعلق بتنسيق أولا النظام.
النظر في مصفوفة التحويل التالية

T =

هنا هو كيف يمكن لهذا التحول مصفوفة يمكن استخدامها لوصف الموقع والتوجه لنظام الثانية تنسيق نسبة إلى تنسيق أولا النظام. نحن نطبق مصفوفة التحول إلى الأصل والنهاية للناقلات وحدة من أول نظام الإحداثيات. هذا الضرب مصفوفة تنتج الأصل والنهاية للناقلات وحدة من نظام الثانية تنسيق:
وترد هذه تنسيق النظامين في الصورة على اليمين. (والثاني نظام الإحداثيات هو واحد مع علامات التجزئة.) نقاط يمكن أن يكون موجودا بالنسبة إلى أي تنسيق النظام. على سبيل المثال النقطةP يقع في ( س ' = 2، ص' = 1، ض ' = 1) في نظام الإحداثيات الثاني وفي ( س = -5، ص = 7، ض = 3) في النظام أولا تنسيق .
ربما أسرع طريقة ل"تصميم" تحول مصفوفة مثل

T =

غير أن نلاحظ أن الأعمدة الثلاثة لsubmatrix 3X3 تعطي التوجه للنظام الثانية تنسيق من حيث لأول مرة مثل هذا:
وأن ناقلات ثلاثة عناصر
من العمود الأخير يعطي موقف الأصل من نظام الثانية تنسيق من حيث الأصل من الأولى.

---

مشكلة

ومن المفترض يد الروبوت لالتقاط جزء. وتنسيق النظام، P يقع، وتعلق على الجزء النسبي إلى "العالم" نظام الإحداثيات، W ، من خلال مصفوفة التحويل
والإطار قاعدة الروبوت، B ، تقع نسبة إلى إطار العالم
من أجل وضع اليد على جزء منه، نود أن محاذاة إطار اليد، H والإطار جزء. ما هو مصفوفة التحويل
(إعطاء إطار ناحية نسبة إلى إطار قاعدة الروبوت) الذي يجعل هذا يحدث؟

حل

عندما إطار اليد، H ، والإطار جزئيا، P ، ثم يتم محاذاة
هذا هو مبين في الرسم البياني إلى اليمين. الآن نحن نستخدم حقيقة أن التحول من عالم إلى القاعدة والتحول من القاعدة إلى جانب ويمكن دمجها في تحول واحد من العالم في اليد، مثل هذا:
استبدال في المصفوفات المعروفة لدينا:
حل هذه المصفوفة معادلة  يعطي:
أو:
أو أخيرا:
كما هو موضح في الخلفية، الأعمدة الثلاثة لsubmatrix 3X3 تعطي التوجه من ناحية نظام تنسيق من حيث قاعدة الروبوت نظام الإحداثيات والعمود الأخير يعطي الأصل من ناحية تنسيق النظام من حيث أصل قاعدة تنسيق النظام.

---